- 三角比の拡張
直角三角形の辺の比の値を、\(\sin,\cos,\tan\;\)それぞれ定義しましたが、
今度はそれを、まずは \(0≦\theta≦180°\) まで拡張します。
図のように、座標平面上に原点Oを中心とする半径ｒの円を書き、
ｘ軸の正の部分との交点をＡ（ｒ，０）、円周上の点Ｐ（ｘ，ｙ）とし、
\(∠AOP=\theta\;\)とすると、
\(0°<\theta<90°\;\)のとき
\(\sin\theta=\dfrac{y}{r},\;\cos\theta=\dfrac{x}{r},\;\tan\theta=\dfrac{y}{x}\) ・・・（ア）
が成り立つ。
この\(\theta\;\)の範囲を\(\;0≦\theta≦180°\;\)に拡大して、
\(\sin\theta,\;\cos\theta,\;\tan\theta\;\)をこの３つの式で定義する。
ただし、\(\tan90°\;\)は、ｘ＝０となるため定義されない。
例：\(\theta=∠AOP＝150°\)のときで見てみましょう。
まずは、「単位円」というものを考えます。
これはとても重要かつ便利な、三角関数の問題を解くのに必須のアイテムです。
（ア）の\(\dfrac{y}{r}\;,\dfrac{x}{r}\;\)などというのは、\(\theta\;\)によって決まる直角三角形の辺の「比の値」なので、円の半径ｒの値をいくつにしようと、sinもcosも「比の値」ですから、変わりません。
そこで \(r=1\) にすると、
（ア）は、\(\sin\theta=y,\;\cos\theta=x\;\)となり、
つまり
\(\theta\;\)の範囲を拡張して定義された\(\sin,\;\cos\;\)の分母となる動径（動く半径）*の長さを「１」にすることで、
Pの座標のｘ座標の値がそのままcosにｙ座標の値がそのままsinになるのです。
これは、三角関数を勉強し始めたときには、その価値の大きさは伝わりにくいのですが、
これから数Ⅰだけでなく、数Ⅱの「三角関数」、そして様々な単元や入試問題で三角関数が出てきたときに、この「単位円」の力が分かります。
２次方程式からみで「判別式」が重要かつ頻繁に使うのと同じくらい、「単位円」を理解して使いこなすことは重要であると考えていいと思います。
\(\theta=150°\;\)の例に戻ると、
単位円において、\(\theta=150°\;\)のときのPの座標は、
\(P(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;,\;\dfrac{1}{2})\) であるから、
\(\sin150°=\dfrac{1}{2}\;,\;\cos150°=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ですね。
ここで、上の円周上のPを見てほしいのですが、
右側（第１象限）のPと、左側（第２象限）のPとで、
辺の比の元になる直角三角形が向きを変えただけの同じ（合同な）直角三角形であるということが分かると思います。向きを変えただけで、辺の長さが同じなので、sin,cos,tanの絶対値は３０°のときと
１５０°のときで変わりません。
しかし、（ア）の式で定義されているので、計算の元になるのは「長さ（絶対値）（≧０）」ではなく、（円周上の点Pの）「座標（正のときもあれば負のときもある）」なので、符号は正とは限りません。
１５０°の場合であれば、点Pのｙ座標（sinθ）は正ですが、ｘ座標（cosθ）は負になります。
これを、以上のことを、次のように覚えましょう。
まずは、「単位円」で考えるクセを付けましょう。必ず役立ちます。
「１５０°のＰの座標は、単位円上では\((-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2})\;\)だから、\(\sin\theta=\dfrac{1}{2},\;\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\)だ、と
単位円と三角比の値の関係を完全に定着させましょう。
そして、「単位円」の【理解と定着】（単位円上の点Pの「ｙ座標がsin」,「ｘ座標がcos」の値になること）は前提の上で、
普段三角比の値を出すときには、絶対値は基本の直角三角形で考え、符号のみを座標の位置で判断します。（これがとてもシンプルで間違えにくいと思います）（もちろん「単位円上の点Pの座標がそのままsin,cos」、これだけで十分」という人はそれで大丈夫ですが、「座標の値の絶対値を考えるときに結局「直角三角形」に戻って考えるのが一番確実なので）
すなわち
「１５０°は３０°がらみだから\(\sin\;\)（の絶対値）は\(\dfrac{1}{2}\;,\cos\;\)（の絶対値）は\(\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\)だが、
第２象限だから（点Ｐのｘ，ｙ座標の符号が分かる程度に円周上での位置が分かればよい）、
『\(y\;\)座標はプラスだから\(\sin\;\)はプラス』、『\(x\;\)座標はマイナスだから\(\;\cos\;\)はマイナス』
よって
\(\sin150°=\dfrac{1}{2}\;\),\(\cos150°=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\)
（以下は数Ⅰの範囲を超えてくるので、教科書の先の内容を見ると気圧されるタイプの人は、数Ⅱの「三角関数」に学校の授業が入る直前まで、以下の内容は保留にしておきましょう。大丈夫の人は、大学受験までの学習効果的には、以下まで一気に見ておいてもいいと思います。）
今後さらに拡張して、最終的に、Pは円周上を何回転してもよく、
２１０°も同じように、
「２１０°は３０°がらみだから\(\sin\;\)(の絶対値）は\(\dfrac{1}{2}\;,\;\cos\;\)（の絶対値）は\(\;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\)だが、
第３象限だから\(x\;\)はマイナス、\(y\;\)もマイナスだから、\(\sin210°=-\dfrac{1}{2}\;\),\(\;\cos210°=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\)
１周３６０°を超えても、
例えば、６９０°なら
２周７２０°より３０°少ないから、第４象限の３０°がらみ
第４象限は\(x\;\)はプラス、\(y\;\)はマイナスだから
\(\sin690°=-\dfrac{1}{2}\;\),\(\;\cos690°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\)
[一般角への拡張]
OA（始線という）から動径OPがどれだけ回転したかをθとする（マイナス（逆回転）でもいいし、何回転してもいい）とき、θを一般角といい、数Ⅱ以降は、一般角に拡張された三角比・三角関数（\(\sinθ,\cosθ,\tanθ\;\)をθの関数として「三角関数」と呼ぶ）を扱います。
一般角では、何回転してもよいので、
例えば、 \(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\;,\;\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) を満たすθは、
と問われたら、sin,cos両方プラスでsinが\(\dfrac{1}{2},\)cosが\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)なのは３０°だから、
\(\qquad \theta=30°＋360°×ｎ\)(nは整数） となります。
円上の動径の位置は同じですが、「何周したか」で何通りでもあることになりますから、こんな表し方になります。
例えば、７５０°であれば、 ３０°＋３６０°×２ ですから、「２周プラス３０°」のことですね。
実際には、数Ⅱになると、角度の単位が度ではなく、「ラジアン」を用いるので、ついでにそれもみておきましょう。（勉強が数Ⅰだけの段階の人は、参考程度に見ておけばいいです。ただし、単位が変わるだけで慣れれば難しいことではないので、良く学ばないうちに何となく見た目で「むずそう」などと思い込んで「数学を投げ」ない方がもったいなくないです。（少なくとも「三角関数」は相対的に見て他の単元よりも難しい単元ではないと思われるので）
１ラジアン＝\(\dfrac{180°}{π}\) \(180°=πラジアン\)
\(360°=2πラジアン\)
なのですが、小学校からずっと度数法（°）で角度を考えてきましたから、なじみがないです。
ラジアン（rad）の定義は、
半径１の円上に長さ１の弧を取り、その弧に対する中心核の大きさを
１radと定めます。（半径ｒの円上に長さｒの弧を取っても同じ）（度数法に対して「弧度法」と呼びます）
１rad≒57.3° です。
単位円でみると、（半径１なので）円周の長さは２π。
中心核の大きさは弧の長さに比例するので、
「半径１の円の弧の長さが１のとき、中心角が１ラジアン、弧の長さが２π（円周）のとき、中心角は？」
と考えると
（弧の長さ１）：（弧の長さ２π）＝（中心角１rad）：（中心角ｘ）
なので、
ｘ＝２π となり、円周に対する中心角は 2πラジアン であることが分かります。
すなわち ３６０°＝２π（rad） です。
弧度法では「ラジアン」は通常省略して、「２π rad」を単に「２π」と表記します。
いくつか度数法から弧度法へ変換してみましょう。
１rad≒57.3° は何となく知っていれば大丈夫です。
実際には比で考えます。
３６０°＝２π [rad] ですから、
１８０°＝π [rad] 、６０°＝\(\dfrac{π}{3}\) [rad]
４５°＝\(\dfrac{π}{4}\) [rad] 、３０°＝\(\dfrac{π}{6}\) [rad]
さきほどの
３０°＋３６０°×ｎ（ｎは整数）は、
\(\qquad \dfrac{π}{6}+2nπ\;\) (nは整数)
と表されることになります。
「２π（１周）×ｎ周と３０°\(\left(\dfrac{π}{6}\right)\)」
ということですね。
「ラジアン」も最初は戸惑うかもしれませんが、慣れてしまえばごく自然に使えるようになります。数Ⅱの「三角関数」も安心して学習を進めてください。
お疲れ様でした。
＊厳密には「動径」とは、原点と点Pを結ぶ半直線（線分ではなく）のことですが、本記事ではイメージしやすいように「動く半径」と表現しています。
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